! В кого не було світла перегляньте відео уроку 👉Посилання
Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних
Якщо у колі дві хорди перетинаються, то вони точкою перетину діляться кожна на два відрізки. Точка перетину двох хорд у колі ділить їх на пропорційні відрізки, з чого випливає, що добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди.
Якщо з точки поза колом проведено до кола дотичну, то відрізок дотичної, що сполучає цю точку з точкою дотику, називають відрізком дотичної.
Якщо з точки поза колом проведено до кола січну, то вона перетинає коло у двох точках, а відрізок, що сполучає точку поза колом з однією точкою перетину, і відрізок, що сполучає точку поза колом з другою точкою перетину, називають відрізками січної.
Якщо з точки поза колом проведено до кола січну і дотичну, то відрізки січної і дотичної пропорційні, з чого випливає, що квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізків січної.
Якщо з точки поза колом до кола проведено дві січні, то утворені відрізки січних пропорційні, з чого випливає, що добуток відрізків однієї січної дорівнює добутку відрізків другої січної.
09.12. Застосування подібності трикутників до розв'язування задач.
Перегляньте приклади застосування подібності трикутників до розв'язування задач.
Ви знаєте ім’я першого вченого геометра Фалеса Мілетського, який жив у Стародавній Греції. В молодості він багато подорожував, відвідував Єгипет і Вавилон. Він відкрив властивості кутів рівнобедреного трикутника, встановив, що діаметр поділяє коло на дві рівні частини. Він є автором теорем, які вам відомі. Фалес відкрив цікавий спосіб визначення відстані від берега до видимого корабля. Деякі історики стверджують, що для цього він скористався ознаками подібності трикутників.
Наукова діяльність Фалеса була тісно пов’язана з практикою.
Задача Фалеса: визначте відстань від берега до корабля в морі, знаючи висоту щогли 20 м, довжину великого пальця - см, відстань від очей до руки – 60 см (слайд 7).
Розв’язування:
Відповідь: відстань від берега до корабля становить 300 м.
№2.
Знайдіть відстань між двома садибами (позначимо А і В), які розташовані на протилежних берегах річки, якщо АМ || ВН і СА=4 м, СМ=5 м, МН=35 м (слайд 9).
Розв’язання:
Відповідь: АВ = 28 м.
Знайдіть висоту дерева, якщо довжина його тіні дорівнює 8,4 м, а тінь від вертикального стовпа заввишки 2 м у той самий час дорівнює 2,4 м (слайд 11).
Розв’язання:
Відповідь: висота дерева 7 метрів.
№ 4.
Для визначення висоти дерева можна використати дзеркало так, як показано на малюнку. Визначити висоту дерева, якщо АС=165 см, ВС=12 см, АD=120 см, DE=4,8 см, L1=L2 (слайд 13).
Лема. Висота прямокутного трикутника розбиває його на два подібних прямокутних трикутники, кожний із яких подібний даному трикутнику.
Відрізок k — середнє пропорційне (або середнє геометричне) відрізків m і n, якщо k2 = m ∙ n.
AD — проекція АС на АВ, BD — проекція ВС на АВ.
Теорема: 1) Висота прямокутного трикутника є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу. CD2 = AD ∙ DB.
2) Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і проекції цього кута на гіпотенузу.
Виконуємо на уроці № 538,540,542,544
Домашнє завдання: §15 - вивчити теорему ( про середні пропорційні відрізки) №543,545
23.11. Ознаки подібності трикутників.
ЗАПАМʼЯТАЙТЕ!
1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні. 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, утворені цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні. 3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні.
Перегляньте відео.
Прочитайте параграф 14. Запам'ятайте ознаки подібності трикутників. Виконайте вправу 484.
Домашнє завдання. № 493
18.11.Подібні трикутники.
Запам'ятайте! Два трикутники називаються подібними, якщо їхні відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.
Маємо трикутники ABC і DEF.
Якщо відомо, що ABDE=BCEF=ACDF=k і ∠A=∠D;∠B=∠E;∠C=∠F, можна зробити висновок, що ΔABC∼ΔDEF.
02.11. Середня лінія трикутника.Властивість медіан трикутника.
Запам'ятайте теорему!
Теорема 2 (властивість медіан трикутника). Медіани трикутника перетинаються в одній точці , яка ділить кожну з них у відношенні 2:1, починаючи від вершини трикутника.
Якщо у вас немає можливості підключитися до уроку перегляньте відео та прочитайте теоретичний маатеріал.
Теорема 1. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює . На рисунку . Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі. Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)
Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна одній. На рисунку .
Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або паралелограм загального виду.
Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони (рисунок справа). Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута. Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії.
Виконайте вправи № 259, 261,263,265 Домашнє завдання №262,264
1.Знайдіть кути прямокутної трапеції, якщо її тупий кут на 40º більший за гострий.
2.Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо сума двох кутів дорівнює 70º.
3.У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює 16 см, а висота 8 см. Знайдіть кути трапеції.
4.У рівнобічній трапеції гострий кут дорівнює 60 º, більша основа 20 см, а бічна сторона 8 см. Знайдіть меншу основу.
5. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі і утворює з нею кут 30 º. Знайдіть кути трапеції.
6.У рівнобічній трапеції діагональ ділить навпіл гострий кут.Більша основа дорівнює 12 см, а периметр - 33 см. Знайдіть меншу основу та бічну сторону трапеції.
7. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить основу на відрізки 3 см і 9 см. Знайдіть меншу основу.
Чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні, називається трапецією.
Основи трапеції — дві паралельні сторони; бічні сторони — дві інші.
Висотою трапеції називається відрізок, перпендикулярний до прямих, що містять основи трапеції, і з кінцями на цих основах.
Рівнобічна трапеція — це трапеція, у якої бічні сторони рівні.
Прямокутна трапеція — це трапеція, одна бічна сторона якої перпендикулярна її основам. У прямокутної трапеції два кути прямі, один гострий і один тупий. Бічна сторона трапеції, перпендикулярна до її основ, є меншою бічною стороною і дорівнює висоті трапеції.
Властивості трапеції
Сума кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, дорівнює 180°. У рівнобічної трапеції кути при кожній основі рівні.
У рівнобічної трапеції діагоналі рівні і нахилені до основи під однаковими кутами.
Ознаки рівнобічної трапеції
Якщо у трапеції кути при основі рівні, то трапеція рівнобічна.
Якщо у трапеції діагоналі рівні, то трапеція рівнобічна.
Якщо у трапеції діагоналі утворюють з основами рівні кути, то трапеція рівнобічна.
Виконаємо разом:№№194,196,202,205.
Д/З.Прочитайте параграф 6.Запам'ятайте основні поняття та властивості. №197, 206
7.10. Контрольна робота з теми:"Чотирикутники та їх властивості."
Виконайте контрольну роботу до 10 жовтня 2022 року. Майте на увазі, що однакові роботи будуть оцінені однією оцінкою на всіх і відповідно розділена оцінка на всіх. Списане з інтернету теж видно (будете пояснювати на уроці, як ви розв'язали задачу). Пам'ятаємо про академічну доброчесність та справедливість і виконуємо самостійно. Успіхів!
1. Кути чотирикутника відносяться як 1:2:4:5. Знайти найменший і найбільший кути чотирикутника.
2. Бісектриса AL прямокутника ABCD ділить сторону ВС наполовину. Знайти периметр прямокутника, якщо AВ = 10 см.
3. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2:7
4. У паралелограмі гострий кут дорівнює 60 °, а висота , що проведена з вершини тупого кута, поділяє протилежну сторону на відрізки 5 см і 10 см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть периметр паралелограма.
5.Бісектриса кута паралелограма ділить одну з його сторін на відрізки 3 см і 7 см, рахуючи від вершини, суміжної з кутом, з якого провели бісектрису. Знайдіть периметр паралелограма.
6. Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює 30°. Знайдіть довжину діагоналі BD, якщо сторона ромба дорівнює 8 см.
7. У ромбі АВСD з вершини тупого кута А проведено висоти АМ і AN до сторін DC і BC відповідно. Знайдіть периметр ромба, якщо ∠МAN = 60°, DМ = 5 дм
Д/з.Повторити §1-5. №7, 11(ст.38)
30.09.2022. Квадрат і його властивості.
Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Властивості квадрата
Квадрату притаманні всі властивості паралелограма. Квадрат можна вважати ромбом із прямими кутами або прямокутником із рівними сторонами, тому квадрат має всі властивості ромба і прямокутника.
1. Всі сторони квадрата рівні:
AB=BC=CD=AD
2. Кожен із кутів квадрата дорівнює 90°.
3. Діагоналі квадрата рівні й точкою перетину діляться навпіл:
BD=AC
BO=OD=AO=OC
4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні:
BD⊥AC
5. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів:
∠ABD=∠DBC=∠BCA=…=45°
6. Діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні прямокутні рівнобедрені трикутники.
Виконайте вправи №157,161
28.09.2022.Ромб і його властивості. Повторення та узагальнення.
.
.
.
Немає коментарів:
Дописати коментар